《例２》前回は\(\displaystyle f(c_1, c_2)=e^{c_1}\)であったが、今回は\(\displaystyle f(c_1, c_2)=e^{c_2}\)としてみよう。この時のN因子は
\(\displaystyle N=\frac{e^{c_2}}{v+\tau g}=\frac{\exp\left\{\frac{t}{\tau }+\ln(v+g\tau)\right\}}{v+g\tau}=\frac{e^{\frac{t}{\tau} } e^{\ln(v+g\tau)}}{v+g\tau}=e^{\frac{t}{\tau}}\)
と随分と簡単なものになる。これは幸先が良いね。また、\(A’=NA\)、\(B’=NB\)であり、
\(\displaystyle A(x, v, t)=1\)、\(\displaystyle B(x, v, t)=\frac{1}{\tau}\dot{x}+g\)
であることを思い出しておこう。
◎K-S構成の場合。
\(\displaystyle H(x, v, t)=v\int_0^1 A'(x, sv, t)ds=v\int_0^1 N(x, sv, t)\cdot 1 ds\)
\(\displaystyle =v\int_0^1 e^{\frac{t}{\tau}}ds=ve^{\frac{t}{\tau}}\)
⇒ \(\displaystyle K(x, v, t)=v\int_0^1 H(x, sv, t)ds=v\int_0^1 sve^{\frac{t}{\tau}}ds=\frac{1}{2}v^2 e^{\frac{t}{\tau}}\)
⇒ \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}K(x, v, t)=0\)、\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial v}K(x, v, t)=ve^{\frac{t}{\tau}}\)、
\(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial v \partial x}K(x, v, t)=0\)、\(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial v \partial t}K(x, v, t)=\frac{1}{\tau}ve^{\frac{t}{\tau}}\)
⇒ \(\displaystyle Y=v\frac{\partial^2}{\partial v\partial x}K(x, v, t)+\frac{\partial^2}{\partial v\partial t}K(x, v, t)\)
\(\displaystyle +\frac{\partial}{\partial t}D(x, v, t)-\frac{\partial}{\partial x}K(x, v, t)-B'(x, v, t)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\tau}ve^{\frac{t}{\tau}}-N\cdot B(x, v, t)=\frac{1}{\tau}ve^{\frac{t}{\tau}}-e^{\frac{t}{\tau}}\left(\frac{v}{\tau}+g\right)=-ge^{\frac{t}{\tau}}\)
⇒ \(\displaystyle C(x, v, t)=x\int_0^1 Y(sx, v, t)ds=x\int_0^1\left(-ge^{\frac{t}{\tau}}\right)ds=-gxe^{\frac{t}{\tau}} \)
⇒ \(\displaystyle L_{KS}=K(x, v, t)+D(x, v, t)v+C(x, v, t)=\left(\frac{1}{2}v^2-gx\right)e^{\frac{t}{\tau}}\) とあっさり構成出来た。
◎V-T構成の場合。
\(\displaystyle E(t, x, \dot{x}, \ddot{x})=N(x, v, t)\left(\ddot{x}+\frac{1}{\tau}\dot{x}+g\right)\)
\(\displaystyle =e^{\frac{t}{\tau}}\left(\ddot{x}+\frac{1}{\tau}\dot{x}+g\right)\)
と置いて、以下の積分を実行するのだったが、今回は簡単だ。
\(\displaystyle L_{VT}(x, \dot{x}, t)=x\int_0^1 E(t, ux, u\dot{x}, u\ddot{x})du=xe^{\frac{t}{\tau}}\int_0^1\left(\ddot{x}u+\frac{1}{\tau}\dot{x}u+g\right)du\)
\(\displaystyle =e^{\frac{t}{\tau}}\left(\frac{1}{2}x\ddot{x}+\frac{1}{2\tau}x\dot{x}+gx\right)\)
◎\(L_{KS}\)と\(L_{VT}\)の関係
まず、二つの構成法によるラグランジアンを並べておこう。ただ、V-T構成によるラグランジアンのOverallにマイナスを乗じたものを考えることにする。
\(\displaystyle L_{KS}=\left(\frac{1}{2}v^2-gx\right)e^{\frac{t}{\tau}}\)
\(\displaystyle L_{VT}=-\left(\frac{1}{2}x\ddot{x}+\frac{1}{2\tau}x\dot{x}+gx\right)e^{\frac{t}{\tau}}\)
今回も二つの構成法によるラグランジアンが互いにつながっているのか、つまり、時間に関する全微分項で移り合える関係になっているのか？調べてみよう。
\[L_{KS}=L_{VT}+\frac{dW}{dt}\]
なる\(W\)を発見してみよう。
\(\displaystyle \frac{dW}{dt}=L_{KS}-L_{VT}=\left(\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{2}x\ddot{x}+\frac{1}{2\tau}x\dot{x}\right)e^{\frac{t}{\tau}}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}x\dot{x}e^{\frac{t}{\tau}}\right)\)
より、\(\displaystyle W=\frac{1}{2}x\dot{x}e^{\frac{t}{\tau}}\)とわかった。
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