《例3》前回は\(\displaystyle f(c_1, c_2)=e^{c_2}\)であったが、今回は任意関数\(f\)として最も簡単な\(\displaystyle f(c_1, c_2)=1\)としてみよう。この時のN因子は
\(\displaystyle N=\frac{1}{v+\tau g}\)
となるが、分数なので簡単という訳ではない。さて、早速ラグランジアンを構成してみよう。
\(\displaystyle A(x, v, t)=1\)、\(\displaystyle B(x, v, t)=\frac{1}{\tau}\dot{x}+g\)
であることは前回と変わりがない。また、\(A’=NA\)、\(B’=NB\)でもある。
◎K-S構成の場合。
\(\displaystyle H(x, v, t)=v\int_0^1 A'(x, sv, t)ds=v\int_0^1 N(x, sv, t)\cdot 1 ds\)
\(\displaystyle =v\int_0^1 \frac{1}{sv+\tau g} ds=\biggl \lbrack \ln\left(s+\frac{\tau g}{v}\right)\biggl\rbrack_0^1=\ln\left(\frac{v}{\tau g}+1\right)\)
⇒ \(\displaystyle K(x, v, t)=v\int_0^1 H(x, sv, t)ds=v\int_0^1 \ln\left(\frac{sv}{\tau g}+1\right)ds \)
となるが、ここは\(\displaystyle X=\frac{sv}{\tau g}\)と置換して、基本積分公式
\(\displaystyle \int \ln(x+1)dX=(X+1)\ln(X+1)-X \)
を用いれば簡単にできて以下のようになる。
\(\displaystyle K(x, v, t)=(v+\tau g)\ln\left(\frac{v}{\tau g}+1\right)-v\)
⇒ \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}K(x, v, t)=0\)、 \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial v}K(x, v, t)=\ln\left(\frac{v}{\tau g}+1\right)\)、
\(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial v \partial x}K(x, v, t)=0\)、 \(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial v \partial t}K(x, v, t)=0\)
⇒ \(\displaystyle Y=v\frac{\partial^2}{\partial v\partial x}K(x, v, t)+\frac{\partial^2}{\partial v\partial t}K(x, v, t)\)
\(\displaystyle +\frac{\partial}{\partial t}D(x, v, t)-\frac{\partial}{\partial x}K(x, v, t)-B’(x, v, t)=-\frac{1}{\tau}\)
⇒ \(\displaystyle C(x, v, t)=x\int_0^1 Y(sx, v, t)ds=-\frac{x}{\tau} \)
⇒ \(\displaystyle L_{KS}=K(x, v, t)+D(x, v, t)v+C(x, v, t)\)
\(\displaystyle=(v+\tau g)\ln\left(\frac{v}{\tau g}+1\right)-\frac{x}{\tau}\)
と構成出来た。
◎V-T構成の場合。
\(\displaystyle E(t, x, \dot{x}, \ddot{x})=N(x, v, t)\left(\ddot{x}+\frac{1}{\tau}\dot{x}+g\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{v+\tau g}\left(\ddot{x}+\frac{1}{\tau}\dot{x}+g\right)\)
ここで、\(\displaystyle C=\ddot{x}+\frac{v}{\tau}\)と置いて以下の準備計算をする。
\(\displaystyle E(t, ux, u\dot{x}, u\ddot{x})=\frac{1}{uv+\tau g}\left(u\ddot{x}+\frac{1}{\tau}u\dot{x}+g\right)=\frac{Cu+g}{v\left(u+\frac{\tau g}{v}\right)}\)
\(\displaystyle =\frac{C\left(u+\frac{\tau g}{v}\right)-C\frac{\tau g}{v}+g}{v\left(u+\frac{\tau g}{v}\right)}=\frac{C}{v}-\frac{\ddot{x}\tau g}{v^2}\frac{1}{\left(u+\frac{\tau g}{v}\right)}\)
このもとでラグランジアンを求める。
\(\displaystyle L_{VT}(x, \dot{x}, t)=x\int_0^1 E(t, ux, u\dot{x}, u\ddot{x})du=x\int_0^1\left\{\frac{C}{v}-\frac{\ddot{x}\tau g}{v^2}\frac{1}{\left(u+\frac{\tau g}{v}\right)} \right\}du\)
\(\displaystyle =x \biggl \lbrack \frac{C}{v}u-\frac{\ddot{x}\tau g}{v^2}\ln\left(u+\frac{\tau g}{v}\right)\biggl\rbrack_0^1=x\left\{\frac{\ddot{x}}{v}+\frac{1}{\tau}-\frac{\ddot{x} g \tau}{v^2}\ln\left(\frac{v}{g \tau}+1\right)\right\}\)
ここで、後の計算のためにマイナスをつけて定義しなおして、
\(\displaystyle L_{VT}(x, \dot{x}, t)=\frac{x\ddot{x} g \tau}{v^2}\ln\left(\frac{v}{g \tau}+1\right)-\frac{x\ddot{x}}{v}-\frac{x}{\tau}\)
としておこう。
もうお決まりのことだが、今回も二つの構成法によるラグランジアンが互いにつながっているのか、つまり、時間に関する全微分項で移り合える関係になっているのか？調べておこう。
\[L_{KS}=L_{VT}+\frac{dW}{dt}\]
なる\(W\)を発見してみよう。
\(\displaystyle \frac{dW}{dt}=L_{KS}-L_{VT}=(v+\tau g-\frac{x\ddot{x} g \tau}{v^2})\ln\left(\frac{v}{\tau g}+1\right)+\frac{x\ddot{x}}{\tau}\)
\(\displaystyle =\frac{d}{dt}\left\{g\tau \frac{x}{v}\ln\left(\frac{v}{\tau g}+1\right)\right\}\)
より、\(\displaystyle W=g\tau \frac{x}{v}\ln\left(\frac{v}{\tau g}+1\right)\)とわかった。
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