前回の《例４》では\(\displaystyle f(c_1, c_2)=1\)というもっとも簡単な関数を考えた。今回は、
\(\displaystyle c_1=-\frac{1}{\tau g}\left(\frac{1}{\tau}x+v \right)+\ln(v+\tau g)\)
\(\displaystyle c_2=\frac{t}{\tau}+\ln(v+\tau g)\)
であったことを鑑みて\(\ln\)が消えるような組み合わせである
\(\displaystyle f(c_1, c_2)=c_2-c_1=\frac{t}{\tau}+\frac{1}{\tau g}\left(\frac{1}{\tau}x+v \right)\)
で行ってみようか。\(\ln\)が消えると計算しやすいかなあと思ったのだが、結局\(\ln\)が現れたり、あまり楽にはならない。まあ、色々なラグランジアンを発掘するという情熱を頼りに計算を進めていこう。
今回のN因子は
\(\displaystyle N=\frac{1}{g\tau^2}\left(\frac{x+v\tau+g\tau^2}{v+\tau g}\right)\)
となり、\(x\)、\(v\)についての有理関数型である。さーて、新たなラグランジアン発掘の旅に出よう。今回も、
\(\displaystyle A(x, v, t)=1\)、\(\displaystyle B(x, v, t)=\frac{1}{\tau}\dot{x}+g\)
である。また、\(A’=NA\)、\(B’=NB\)でもある。後、V-T構成によるラグランジアンには加速度\(\ddot{x}\)が入って来て、パッと見では三階微分方程式のラグランジアンか？と思えてしまうこともあり、通常のラグランジアンとはかけ離れた形でもあるし、毎回、時間についての全微分項を発見するのも大変なので、これからは計算は少しややこしいが、K-S構成でラグランジアンを発掘していこうと思う。いつの日か、K-S構成とV-T構成のラグランジアンが一般的に時間についての微分項のズレを除いて同値であることの証明を完成させてみたいが、今の所、防人にはその証明はよくわからない。
\(\displaystyle H(x, v, t)=v\int_0^1 A'(x, sv, t)ds=v\int_0^1 N(x, sv, t)\cdot 1 ds\)
\(\displaystyle =v\int_0^1 \frac{1}{g\tau^2}\left(\frac{x+sv\tau+g\tau^2}{sv+\tau g}\right) ds=v\int_0^1 \frac{1}{g\tau}\left\{1+\frac{x}{v\tau}\left(\frac{1}{s+\frac{g\tau}{v}}\right) \right\} ds\)
\(\displaystyle =\frac{v}{g\tau}\biggl \lbrack s+\frac{x}{v\tau}\ln\left(s+\frac{g\tau}{v}\right)\biggl\rbrack_0^1=\frac{1}{g\tau}\left(v+\frac{x}{\tau}\ln\left(\frac{v}{g\tau}+1\right)\right)\)
⇒ \(\displaystyle K(x, v, t)=v\int_0^1 H(x, sv, t)ds\)
\(\displaystyle =\frac{v}{g\tau}\int_0^1 \left\{sv+\frac{x}{\tau}\ln\left(\frac{sv}{\tau g}+1\right)\right\}ds \)
\(\displaystyle =\frac{v^2}{g\tau}\int_0^1 \left\{s+\frac{x}{v\tau}\left(\ln\left(s+\frac{\tau g}{v}\right)+\ln\left(\frac{v}{g\tau}\right)\right)\right\}ds \)
\(\displaystyle =\frac{v^2}{g\tau}\biggl \lbrack \frac{1}{2}s^2+\frac{x}{v\tau}\left\{\left(s+\frac{g\tau}{v}\right)\ln\left(s+\frac{g\tau}{v}\right)-s+\ln\left(\frac{v}{g\tau}\right)\cdot s\right\}\biggl\rbrack_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{v^2}{2g\tau}+\frac{vx}{g\tau^2}\left\{\left(1+\frac{g\tau}{v}\right)\ln\left(\frac{v}{g\tau}+1\right)-1\right\}\)
さて、\(K\)の偏微分を計算していこう。
⇒ \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}K(x, v, t)=\frac{v}{g\tau^2}\left\{\left(1+\frac{g\tau}{v}\right)\ln\left(\frac{v}{g\tau}+1\right)-1\right\}\)、
\(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial v \partial x}K(x, v, t)=\frac{1}{g\tau^2}\ln\left(\frac{v}{g\tau} +1\right)\)（これはしっかり計算しないと！)、
\(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial v \partial t}K(x, v, t)=0\)、
⇒ \(\displaystyle Y=v\frac{\partial^2}{\partial v\partial x}K(x, v, t)+\frac{\partial^2}{\partial v\partial t}K(x, v, t)\)
\(\displaystyle +\frac{\partial}{\partial t}D(x, v, t)-\frac{\partial}{\partial x}K(x, v, t)-B’(x, v, t)\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{\tau}\left\{\ln\left(\frac{v}{g\tau}+1\right)+\frac{x}{g\tau^2}+1\right\}\)
⇒ \(\displaystyle C(x, v, t)=x\int_0^1 Y(sx, v, t)ds \)
\(\displaystyle=-\frac{x}{\tau}\int_0^1 \left\{\ln\left(\frac{v}{g\tau}+1\right)+\frac{sx}{g\tau^2}+1\right\}ds \)
\(\displaystyle=-\frac{x}{\tau}\left\{\ln\left(\frac{v}{g\tau}+1\right)+\frac{x}{2g\tau^2}+1\right\}\)
⇒ \(\displaystyle L=K(x, v, t)+D(x, v, t)v+C(x, v, t)\)
\(\displaystyle=\frac{v^2}{2g\tau}+\frac{vx}{g\tau^2}\left\{\left(1+\frac{g\tau}{v}\right)\ln\left(\frac{v}{g\tau}+1\right)-1\right\}-\frac{x}{\tau}\left\{\ln\left(\frac{v}{g\tau}+1\right)+\frac{x}{2g\tau^2}+1\right\}\)
と構成出来た。一応心配なので、このラグランジアンがオイラー・ラグランジュ方程式を経由して空気抵抗型の運動方程式を導き出すかどうかチェックしておこう。
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}L=\frac{v}{g\tau^2}\ln\left(\frac{v}{g\tau}+1\right)-\frac{x}{g\tau^3}-\frac{v}{g\tau^2}-\frac{1}{\tau}\)
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial v}L=\frac{v}{g\tau}+\frac{x}{g\tau^2}\ln\left(\frac{v}{g\tau}+1\right)-\frac{x}{\tau}\frac{1}{v+g\tau}\)
\(\displaystyle \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial v}L=\frac{\ddot{x}}{g\tau}+\frac{v}{g\tau^2}\ln\left(\frac{v}{g\tau}+1\right)+\frac{x}{g\tau^2}\frac{\ddot{x}}{v+g\tau}\)
\(\displaystyle -\frac{v}{\tau}\frac{1}{v+g\tau}+\frac{x\ddot{x}}{\tau(v+g\tau)^2}+\frac{x}{g\tau^3}+\frac{v}{g\tau^2}+\frac{1}{\tau}\)
以上より、
\(\displaystyle 0=\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial v}L-\frac{\partial}{\partial x}L\)
\(\displaystyle =\frac{\ddot{x}}{g\tau}+\frac{x}{g\tau^2}\frac{\ddot{x}}{v+g\tau}+\frac{x}{g\tau^3}+\frac{v}{g\tau^2}+\frac{1}{\tau}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{g\tau^2}\frac{x\ddot{x}}{v+g\tau}+\frac{\ddot{x}\tau^2+x+v\tau+g\tau^2}{g\tau^3}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{g\tau^3(v+g\tau)}\left\{\tau \ddot{x}\left(x+v\tau+g\tau^2\right)+(v+g\tau)\left(x+v\tau+g\tau^2\right)\right\}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{g\tau^2}\frac{x+v\tau+g\tau^2}{v+g\tau}\left(\ddot{x}+\frac{1}{\tau}\dot{x}+g \right)=N\cdot\left(\ddot{x}+\frac{1}{\tau}\dot{x}+g \right)\)
となり、\(N\not\equiv 0\)であるから、空気抵抗型の運動方程式
\[\ddot{x}+\frac{1}{\tau}\dot{x}+g =0\]
が登場することとなった。今回発掘されたのラグランジアンに最後にもう一度登場してもらおう。
\[L=\frac{v^2}{2g\tau}+\frac{vx}{g\tau^2}\ln\left(\frac{v}{g\tau}+1\right)-\frac{x}{\tau}\left(\frac{x}{2g\tau^2}+\frac{v}{g\tau}+1\right)\]
ウーム！なかなか味のある形をしたラグランジアンだ。次回は\(f(c_1, c_2)=c_1\)の場合のラグランジアンを発掘しますかね。
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