前回の内容をまとめておこう。空気抵抗型の運動方程式の両辺を\(m\)で割って、
\[\ddot{x}+\frac{1}{\tau}\dot{x}+g=0\]
但し、\(\displaystyle \tau=\frac{m}{k}\)である。また、
\(\displaystyle A=1\)、\(\displaystyle B=\frac{1}{\tau}\dot{x}+g\)
と置くと、この\(A\)、\(B\)達はHelmholtz condition
\[\frac{\partial B}{\partial \dot{x}}=\left( \dot{x}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial t}\right) A ★ \]
を満たしていないので、N因子(Integrating factor\(N\))を乗じた、\(A’=NA\)、\(B’=NB\)がHelmholtz condition★を満たすように\(N\)を決めてやればよい。その方程式は
\[-\frac{1}{\tau}N+vN_x -\left(\frac{1}{\tau}\dot{x}+g\right)N_v+N_t=0 \]
であり、特性曲線法でこの解を求めると、それは
\(\displaystyle N=\frac{f(c_1, c_2)}{v+\tau g}\)
であった。\(f\)は任意関数で、こちら側が自由に決めることが出来る。また、\(c_1\)、\(c_2\)は
\(\displaystyle c_1=-\frac{1}{\tau g}\left(\frac{1}{\tau}x+v \right)+\ln(v+\tau g)\)
\(\displaystyle c_2=\frac{t}{\tau}+\ln(v+\tau g)\)
である。
今回は、ここから関数形\(f(c_1, c_2)\)の形を決めて、空気抵抗型の運動方程式を与えるラグランジアンを構成していこうと思う。構成の仕方は『微分形式による解析力学』の著者である木村・菅野等による方法(以下ではK-S構成と略す)とM.M.Vainberg・E.Tonti等による方法(以下ではV-T構成と略す)がある。K-S構成は計算が面倒であるが、登場するラグランジアンは極めて身近で馴染みやすい(通常であれば、運動エネルギー引くポテンシャルエネルギーという形になる)。これに対して、V-T構成は計算が楽ちんだが、結果はヘンテコなラグランジアンが登場してしまい、馴染みある形にするには全微分項の自由度を使って変形する必要がある。以下ではそれぞれの方法でラグランジアンを構成してみようと思う。今回の空気抵抗力は非保存力であるため、位置エネルギーが存在しない。であるから、ラグランジアン\(L\)は『(運動エネルギー)－(位置エネルギー)』という典型的なものにはならない。さーて、どんなラグランジアンが登場するのだろう。楽しみだ。
《例１》\(\displaystyle f(c_1, c_2)=e^{c_1}\)としてみよう。この時のN因子は
\(\displaystyle N=\frac{e^{c_1}}{v+\tau g}=\frac{\exp\left\{-\frac{1}{\tau g}\left(\frac{1}{\tau} x +v \right)+\ln(v+g\tau)\right\}}{v+g\tau}\)
\(\displaystyle =\frac{\exp\left\{-\frac{1}{\tau g}\left(\frac{1}{\tau} x +v \right)\right\}\exp\left(\ln(v+g\tau)\right)}{v+g\tau}\)
\(\displaystyle =\frac{\exp\left\{-\frac{1}{\tau g}\left(\frac{1}{\tau} x +v \right)\right\}(v+g\tau)}{v+g\tau}=\exp\left\{-\frac{1}{\tau g}\left(\frac{1}{\tau} x +v \right)\right\}\)
となる。さて、ラグランジアンの構成に入るか。
◎K-S構成の場合。
ラグランジアンの形を\(\displaystyle L(x, v, t)=K(x, v, t)+D(x, v, t)v+C(x, v, t) \)と仮定する。一次元の場合はDターム\(\displaystyle D(x, v, t)\)は恒等的にゼロとなるので気にしなくてよい。まずは、以下に定義される\(\displaystyle H(x, v, t)\)と言う量の計算からスタートするのだ。
\(\displaystyle H(x, v, t)=v\int_0^1 A'(x, sv, t)ds=v\int_0^1 N(x, sv, t)\cdot 1 ds\)
\(\displaystyle =v\int_0^1 \exp\left\{-\frac{1}{\tau g}\left(\frac{1}{\tau} x +sv \right)\right\} ds= v\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right) \int_0^1 \exp\left(-\frac{vs}{\tau g}\right) ds\)
\(\displaystyle =\tau g \exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)\left\{1-\exp\left(-\frac{v}{\tau g}\right) \right\}\)
⇒ \(\displaystyle K(x, v, t)=v\int_0^1 H(x, sv, t)ds \)
\(\displaystyle =v\tau g \exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)\int_0^1 \left\{1-\exp\left(-\frac{vs}{\tau g}\right) \right\}ds \)
\(\displaystyle =\tau gv\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)\int_0^1 \frac{d}{ds}\left\{s+\frac{\tau g}{v}\exp\left(-\frac{vs}{\tau g}\right) \right\}ds \)
\(\displaystyle =\tau g\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)\left\{v+\tau g\left(\exp\left(-\frac{v}{\tau g}\right)-1\right) \right\}\)
⇒ \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}K(x, v, t)=-\frac{1}{\tau}\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)\left\{v+\tau g\left(\exp\left(-\frac{v}{\tau g}\right)-1\right) \right\}\)
\(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial v\partial x}K(x, v, t)=-\frac{1}{\tau}\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)\left\{1-\exp\left(-\frac{v}{\tau g}\right) \right\}\)
\(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial v\partial t}K(x, v, t)=0\)
⇒ \(\displaystyle Y=v\frac{\partial^2}{\partial v\partial x}K(x, v, t)+\frac{\partial^2}{\partial v\partial t}K(x, v, t)-\frac{\partial}{\partial x}K(x, v, t)-B'(x, v, t)\)
\(\displaystyle =-\frac{v}{\tau}\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)\left\{1-\exp\left(-\frac{v}{\tau g}\right) \right\}\)
\(\displaystyle +\frac{1}{\tau}\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)\left\{v+\tau g\left(\exp\left(-\frac{v}{\tau g}\right)-1\right) \right\}\)
\(\displaystyle -\exp\left\{-\frac{1}{\tau g}\left(\frac{1}{\tau} x +v \right)\right\}\left(\frac{1}{\tau}v+g \right)\)
\(\displaystyle =-g\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)\) と\(Y\)を計算する。
⇒ \(\displaystyle C(x, v, t)=x\int_0^1 Y(sx, v, t)ds=x\int_0^1 \left\{-g\exp\left(-\frac{sx}{\tau^2 g}\right)\right\}ds\)
\(\displaystyle =-gx\biggl \lbrack -\frac{\tau^2 g}{x}\exp\left(-\frac{sx}{\tau^2 g}\right)\biggl\rbrack_0^1=(\tau g)^2\left\{\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)-1\right\}\)
⇒ \(\displaystyle L(x, v, t)=K(x, v, t)+D(x, v, t)v+C(x, v, t) \)
\(\displaystyle =\tau g\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)\left\{v+\tau g\left(\exp\left(-\frac{v}{\tau g}\right)-1\right) \right\}+(\tau g)^2\left\{\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)-1\right\}\)
\(\displaystyle =(\tau g)^2 \left\{\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}-\frac{v}{\tau g}\right)-1\right\}+\tau g v \exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)\)
\(\displaystyle =(\tau g)^2 \left\{\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}-\frac{v}{\tau g}\right)-1\right\}+\tau g \frac{d}{dt}\left\{\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}\right)\cdot(-\tau^2 g)\right\}\)
\(\displaystyle \equiv(\tau g)^2 \left\{\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}-\frac{v}{\tau g}\right)-1\right\}\)
最後の\(\equiv\)は時間に関する全微分項は取り付けても省いても運動方程式には影響が出ないので、そのような二つのラグランジアンは同値であると言う意味で用いた。以上より、K-S構成による空気抵抗型のラグランジアンは、
\[ L_{KS}(x, v, t)=(\tau g)^2 \left\{\exp\left(-\frac{x}{\tau^2 g}-\frac{v}{\tau g}\right)-1\right\}\]
と求まった。
◎V-T構成の場合。
これは前回調和振動子の所で紹介した方法だ。それは、
\(\displaystyle E(t, x, \dot{x}, \ddot{x})=N(x, v, t)\left(\ddot{x}+\frac{1}{\tau}\dot{x}+g\right)\)
\(\displaystyle =\exp\left\{-\frac{1}{\tau g}\left(\frac{1}{\tau} x +\dot{x} \right)\right\}\left(\ddot{x}+\frac{1}{\tau}\dot{x}+g\right)\)
と置いて、以下の積分を実行するだけといういたってシンプルな方法だ。
\[L_{VT}(x, \dot{x}, t)=x\int_0^1 E(t, ux, u\dot{x}, u\ddot{x})du\]
計算の簡単のため、
\(\displaystyle \alpha=\frac{1}{\tau g}\left(\frac{x}{\tau}+\dot{x}\right)\)
\(\displaystyle C=\ddot{x}+\frac{1}{\tau}v\)
と置いておく。このもとで、上記の積分の被積分関数は
\[E(t, ux, u\dot{x}, u\ddot{x})=e^{-\alpha u}\left(Cu+g\right)\]
と書くことが出来る。それでは早速積分しよう(部分積分やるだけだね)。
\(\displaystyle L_{VT}(x, \dot{x}, t)=x\int_0^1 E(t, ux, u\dot{x}, u\ddot{x})du=x\int_0^1 \left( e^{-\alpha u}\left(Cu+g\right)\right)du \)
\(\displaystyle =-\frac{\alpha x(C+g)+xC}{\alpha^2}e^{-\alpha}+\frac{x(\alpha g+C)}{\alpha^2} \)
注意！このV-Tラグランジアンを使う場合、オイラー・ラグランジュ方程式は拡張型の
\[\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}+\frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot{x}}=0\]
を用いることである。まあ、別にK-S型を用いる時もこのタイプのオイラー・ラグランジュ方程式を用いれば良いのだけれど。更に、位置の時間に関する３階微分、4階微分、・・・とラグランジアンに入ってくると一般のジェット束上でのオイラー・ラグランジュ方程式を考えることになるのだけどね。
◎\(L_{KS}\)と\(L_{VT}\)の関係
まず、先ほど導入した\(\alpha\)と\(C\)を用いて、更に、Overallにマイナスを乗じて\(L_{KS}\)を書き直しておこう。
\(\displaystyle L_{KS}=(\tau g)^2 \left(1-e^{-\alpha}\right)\)
\(\displaystyle L_{VT}=\frac{x}{\alpha^2} \left\{-\left(\alpha (C+g)+C \right) e^{-\alpha}+\alpha g+C \right\} \)
問題は同じ積分因子から導出された二つの構成法によるラグランジアンが互いにつながっているのか、つまり、時間に関する全微分項で移り合える関係になっているのか？ということである。
\[L_{VT}=L_{KS}+\frac{dW}{dt}\]
なる\(W\)は存在するのだろうか？そのためには上の式を以下のように
\[\frac{dW}{dt}=L_{VT}-L_{KS}\]
と書き換えて、右辺の時間に関する原始関数を発見(右辺を時間に関して積分)できたら良いわけだ。かなり頑張って考えてみると、以下のようになることがわかる。
\(\displaystyle \frac{dW}{dt}=\frac{x}{\alpha^2} \left\{-\left(\alpha (C+g)+C \right) e^{-\alpha}+\alpha g+C \right\}-(\tau g)^2 \left(1-e^{-\alpha}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\alpha^2}\left\{\left(\left(\frac{x}{\tau}+v \right)^2-\alpha x(C+g)-xC\right)e^{-\alpha}+\alpha xg+Cx-\left(\frac{x}{\tau}+v\right)^2\right\}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\alpha^2}\left\{\left(v^2-x\ddot{x}-\frac{x}{\tau g}\left(\frac{x}{\tau}+v\right)\left(\ddot{x}+\frac{v}{\tau}\right)\right)e^{-\alpha}+x\ddot{x}-v^2 \right\}\)
\(\displaystyle =\frac{d}{dt}\left\{\frac{xe^{-\alpha}+v\tau}{\frac{x}{\tau}+v}\right\}\)
このようにK-S構成とV-T構成は時間に関する全微分項で結びついていることがわかる。さて、例２に入るのは今回疲れたので、クールダウン例題としてよく知られている調和振動子のラグランジアンをK-S構成で導いておこう(V-T構成は以前やったよね)。
《補足問題》調和振動子の微分方程式：\(\displaystyle \ddot{x}+\omega^2 x=0\)
ここで、\(A=1\)、\(B=\omega^2 x\)である。もちろん、N因子は\(N=1\)である。K-S構成の復習も兼ねてやってみよう。
\(\displaystyle H(x, v, t)=v\int_0^1 A(x, sv, t)ds=v\int_0^1 ds=v\)
⇒\(\displaystyle K(x, v, t)=v\int_0^1 H(x, sv, t)ds=v\int_0^1 vsds=\frac{1}{2}v^2 \)
⇒\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}K(x, v, t)=0\)、\(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial v \partial x}K(x, v, t)=0\)、\(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial v \partial t}K(x, v, t)=0\)
⇒\(\displaystyle Y=v\frac{\partial^2}{\partial v\partial x}K(x, v, t)+\frac{\partial^2}{\partial v\partial t}K(x, v, t)-\frac{\partial}{\partial x}K(x, v, t)-B(x, v, t)\)
\(\displaystyle=-\omega^2 x\)
⇒\(\displaystyle C(x, v, t)=x\int_0^1 Y(sx, v, t)ds=x\int_0^1 \left(-\omega^2xs\right)ds=-\frac{1}{2}\omega^2x^2\)
⇒\(\displaystyle L_{KS}=K(x, v, t)+D(x, v, t)v+C(x, v, t)=\frac{1}{2}v^2-\frac{1}{2}\omega^2x^2 \)
但し、１dimの場合は\(D(x, v, t)=0\)である。このようにK-S構成は正当なラグランジアンを手に入れることが出来る。これに対してV-T構成は、
\(\displaystyle L_{VT}=-\frac{1}{2}x\ddot{x}-\frac{1}{2}\omega^2 x^2\)
であった。これらのラグランジアンも時間に対する全微分項のズレであり、具体的には
\(\displaystyle \frac{dW}{dt}=L_{VT}-L_{KS}=-\frac{1}{2}x\ddot{x}-\frac{1}{2}v^2=-\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\dot{x}x)\)
より\(\displaystyle W=-\frac{1}{2}\dot{x}x\)となる。さて、クールダウン？したことだし、《例２》についてはまた次回にしますかね。お疲れ様です。
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